◆ 直線と曲線 ◆

= Tunnel_FAQ =

 


線は点の集まり。
だとすれば、直線も点の集まり、曲線も点の集まり。

カーブしたトンネルなんて、どうやったら掘れる(作れる)のか。
との知人の問いかけに答える私。
離れて見ているせいさ、もっと近くに行って、よ〜く見てごらん。

みなさんのお近くに、カーブした道路がございますか。
しかも、歩道があり、車道と歩道との境界部分に、
コンクリート製のブロック(縁石)がありましたら格好の見本です。
たいてい、縁石1本あたりの長さは60cm,1m,2mとなっています。
まぎれもなく、それぞれの縁石は、まっすぐ(直線)なつくりとなっています。
ところがどうでしょう、少し離れて眺めると、ちゃんとカーブしているように見えるでしょう。


*****   *****   *****   *****   *****   *****   *****
 

正三角形、正方形、正五角形、・・・正十角形、・・・正百角形、・・・正千角形。
もしも、時間と労力があれば、絵(図)に書いてみてください。
角数が増えれば増えるほど、見かけ上は円に近い形となるはずです。

[正三角形] [正四角形] [正五角形] [正六角形] [正七角形] [正八角形] [正十角形]


*****   *****   *****   *****   *****   *****   *****
 

二等辺三角形の等辺長を半径とした弧を、
その二等辺三角形の二頂点に外接するように書いてみてください。
三角形の等辺でない一辺を、底辺とします。
二等辺の長さを一定とします(実際、絵(図)に書くとすれば10cm程度)。
等辺の長さ(比を10として)を一定として、
底辺の長さの比率を小さく変えながら、同じ手順で数枚書いてみてください。
比率は、10:8くらいから初めて、10:5、10:3程度を試してみるのが、よろしいかと思われます。
次第に、弧と底辺(弦)との区別がつきにくくなるなるはずです。

 

[比率 10:8] [比率 10:5] [比率 10:3]


正多角形の角数が増えるほど、見かけ上、円に近づくのは、このためです。
正多角形の一辺に相当するのが、上図の弦ということになります。


*****   *****   *****   *****   *****   *****   *****
 

弧(円弧)の長さを「弧長(こちょう)」、
底辺部(弦のこと)に相当する長さを「弦長(げんちょう)」と呼びます。
仮に、道路の曲率半径を、1000mとします(二等辺の辺長に相当)。
弦長を、10.5mとします(二等辺三角形の底辺に相当)。
  
この条件で、弧長を計算してみます(実際−設計上−の道路の長さ)。
案の定、弧長も10.5mとなります。
弧長=弦長となるのです。


試しに、上記の二等辺三角形の外接弧の長さを計算してみます。
半径は10cmの一定です。
弦長 8cm(半径対弦長の比率 10:8) ⇒ 弧長 8.23cm(約2mmの差)
弦長 5cm(半径対弦長の比率 10:5) ⇒ 弧長 5.05cm(0.5mmの差)
弦長 3cm(半径対弦長の比率 10:3) ⇒ 弧長 3.01cm(0.1mmの差、ほとんど等しい長さ)

半径 1000.000m
弦長 10.500m(半径対弦長の比率 10:0.105) 
                   ⇒ 弧長 10.500m(厳密には異なるが、実用上は等しい長さ)


*****   *****   *****   *****   *****   *****   *****
 

こうしたことから、弦長(直線)を短くすればするほど、弧長(曲線)と等しい長さになります。
直線(弦)を更に細分化すれば点となります。
それは曲線(弧/円周)上の点と同じになるのです。
したがって、建設工事では実用上差し支えのない範囲で、
短い長さの直線を連続させて曲線を表現しているのです。
つまり、実際の工事では、円の中心を持つ正多角形の一部分を、作っているということです。
カーブしている道路の縁石ブロックが、正多角形の一辺をなしている、ということなのです。

トンネルも同様です。
実際には、「短い長さの直線」の集まりなのです。
道路の曲率半径(カーブ部分の半径)や、
トンネル覆工(トンネル内部の壁をコンクリートで覆う作業)の方法によって異なりますが、
一般的に山岳道路トンネルでは、一区間が10.5m程度として工事を行います。
トンネル覆工一区間長が、正多角形の一辺に相当しているのです。
なお、一区間が12m程度のトンネルもありますし、9mの場合もあります。
きついカーブのときは、4.5mといった例外もありました。

 

     

 

 

turn